Contoh Soal Perbandingan Trigonometri,Sudut Istimewa,Sudut Berselasi,Aturan Sinus dan aturan Cosinus

#PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SIKU-SIKU

1.Diketahui segitiga ABC siku-siku di C dengan a=4, b=3, dan c=5. Tentukan nilai perbandingan trigonometri untuk sudut B!

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cinline%20sin%5C%3A%20B%3D%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7D%5C%3A%20%2C%5C%3A%20cos%5C%3A%20B%3D%5Cfrac%7B4%7D%7B5%7D$

http://1.bp.blogspot.com/-ZyI4vr8Y98Q/UfMZisaEI4I/AAAAAAAAAFk/dpnnltFB8Mc/s1600/contoh+1.gif

Jawab:

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cinline%20csc%5C%3A%20B%3D%5Cfrac%7B5%7D%7B3%7D%5C%3A%20%2C%5C%3A%20cot%5C%3A%20B%3D%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D$

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cinline%20tan%5C%3A%20B%3D%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%5C%3A%20%2C%5C%3A%20sec%5C%3A%20B%3D%5Cfrac%7B5%7D%7B4%7D$

http://4.bp.blogspot.com/-LBRUh71xeck/UfMb9PGzahI/AAAAAAAAAF0/WhIi5vp9yDc/s1600/contoh+2.gif

2.Diketahui segitiga ABC siku-siku di B, AB=3 dan BC=2. Tentukanlah panjang AC dan nilai sin A, cos A, tan C, dan sec C !

Jawab:

Sehingga dapat ;

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cinline%20cos%5C%3A%20A%3D%5Cfrac%7BAB%7D%7BAC%7D%3D%5Cfrac%7B3%7D%7B%5Csqrt%7B13%7D%7D%3D%5Cfrac%7B3%7D%7B13%7D%5Csqrt%7B13%7D$

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cinline%20tan%5C%3A%20C%3D%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D$

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cinline%20sec%5C%3A%20C%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B13%7D%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Csqrt%7B13%7D$

3.Diberikan

http://1.bp.blogspot.com/-Z5FFVdwT7JQ/UfM6LD8EqSI/AAAAAAAAAGE/XSwSwDuleiA/s1600/contoh+3.gif

Pada Gambar diatas, titik Q(-5, 12) Tentukanlah!

a. Panjang OQ

b. Nilai

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cinline%20%5Cmathbf%7Bb%7D%29%5C%3A%20sin%5C%3A%20%5Calpha%20%3D%5Cfrac%7By%7D%7Br%7D%3D%5Cfrac%7B12%7D%7B13%7D$ Jawab:

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cinline%20cot%5C%3A%20%5Calpha%20%3D%5Cfrac%7Bx%7D%7By%7D%3D%5Cfrac%7B-5%7D%7B12%7D$ $http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cinline%20tan%5C%3A%20%5Calpha%20%3D%5Cfrac%7By%7D%7Bx%7D%3D%5Cfrac%7B12%7D%7B-5%7D$ $http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cinline%20cos%5C%3A%20%5Calpha%20%3D%5Cfrac%7Bx%7D%7Br%7D%3D%5Cfrac%7B-5%7D%7B13%7D$

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cinline%20csc%5C%3A%20%5Calpha%20%3D%5Cfrac%7Br%7D%7By%7D%3D%5Cfrac%7B13%7D%7B12%7D$ $http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cinline%20sec%5C%3A%20%5Calpha%20%3D%5Cfrac%7Br%7D%7Bx%7D%3D%5Cfrac%7B13%7D%7B-5%7D$

4.Tentukan nilai sinus, kosinus dan tangen dari sudut-sudut lancip dalam segitiga berikut.

https://d14fikpiqfsi71.cloudfront.net/media/W1siZiIsIjIwMTUvMDIvMTkvMTMvMjIvMDAvNTEvbDMuUE5HIl0sWyJwIiwidGh1bWIiLCI2MDB4XHUwMDNlIix7fV1d.PNG?sha=c176e6ab9a5df260

Penyelesaian:

Pada segitiga ABC, panjang sisi AC (hipotenusa) belum diketahui.Ingatkah kalian bagaimana cara menentukannya?
Ya, dalam menentukan panjang sisi AC, dapat digunakan teorema Pythagoras.

https://d14fikpiqfsi71.cloudfront.net/media/W1siZiIsIjIwMTUvMDIvMTkvMTMvMjIvNDMvMTg4LzU0ZTVlM2EzMWI5ZDkwMTgwNjAwMDBmYS5wbmciXSxbInAiLCJ0aHVtYiIsIjYwMHhcdTAwM2UiLHt9XV0.png?sha=04eafdd1eeb94cd9

Dengan demikian, gambar di atas dapat dilengkapi sehingga menjadi gambar berikut.

https://d14fikpiqfsi71.cloudfront.net/media/W1siZiIsIjIwMTUvMDIvMTkvMTMvMjMvMTYvMzY3L2w0LlBORyJdLFsicCIsInRodW1iIiwiNjAweFx1MDAzZSIse31dXQ.PNG?sha=41880b5a8321cbab

Dalam gambar di atas, sudut lancip dalam segitiga ABC adalah sudut α dan β.Perbandingan trigonometri dari sudut α adalah sebagai berikut:

https://d14fikpiqfsi71.cloudfront.net/media/W1siZiIsIjIwMTUvMDIvMTkvMTMvMjUvNDYvMS81NGU1ZTQ1YTM0NjEyZjJhYmEwMDAyZDIucG5nIl0sWyJwIiwidGh1bWIiLCI2MDB4XHUwMDNlIix7fV1d.png?sha=ff6193f12f70cbcd

Adapun perbandingan trigonometri dari sudut β adalah sebagai berikut:

https://d14fikpiqfsi71.cloudfront.net/media/W1siZiIsIjIwMTUvMDIvMTkvMTMvMjcvMzcvNC81NGU1ZTRjODFiOWQ5MDE3NmUwMDAxMDEucG5nIl0sWyJwIiwidGh1bWIiLCI2MDB4XHUwMDNlIix7fV1d.png?sha=db4d7c9bfbc0156e

5.Perhatikan gambar berikut.

https://d14fikpiqfsi71.cloudfront.net/media/W1siZiIsIjIwMTUvMDIvMTkvMTMvMjgvMjgvNjEvbDUuUE5HIl0sWyJwIiwidGh1bWIiLCI2MDB4XHUwMDNlIix7fV1d.PNG?sha=827c839840472566

Hitunglah nilai sinus, kosinus dan tangen untuk sudut A dan B.

Penyelesaian:

Agar penyelesaian soal menjadi lebih mudah, dapat dibuat sketsanya.

https://d14fikpiqfsi71.cloudfront.net/media/W1siZiIsIjIwMTUvMDIvMTkvMTMvMjkvNDQvNTc0L2w2LlBORyJdLFsicCIsInRodW1iIiwiNjAweFx1MDAzZSIse31dXQ.PNG?sha=2aa1629efb22b8ba

Pada sketsa di atas, panjang AD dimisalkan dengan x, sehingga panjang DB adalah 14 - x.

Pada segitiga siku-siku ADC,
CD2 = 132 -x2 … (1)

Pada segitiga siku-siku BDC,
CD2 = 152 - (14 - x)2 … (2)

Selanjutnya, dari kedua persamaan di atas kita peroleh hasil sebagai berikut:

https://d14fikpiqfsi71.cloudfront.net/media/W1siZiIsIjIwMTUvMDIvMTkvMTMvMzMvMDcvODY1LzU0ZTVlNjEzMzQ2MTJmNDQ0OTAwMDExZS5wbmciXSxbInAiLCJ0aHVtYiIsIjYwMHhcdTAwM2UiLHt9XV0.png?sha=408885a3d9d70ab8

Dengan demikian, panjang AD adalah 5 satuan dan panjang DB adalah 9 satuan.

Selanjutnya, jika kita subtitusikan x = 5 ke persamaan (1), maka dapat kita tentukan bahwa panjang CD adalah 12 satuan.

https://d14fikpiqfsi71.cloudfront.net/media/W1siZiIsIjIwMTUvMDIvMTkvMTMvMzQvMDUvNzkxL2w3LlBORyJdLFsicCIsInRodW1iIiwiNjAweFx1MDAzZSIse31dXQ.PNG?sha=fbe3dfe94904f42c

Jadi, dapat kita simpulkan bahwa perbandingan trigonometri untuk sudut A pada segitiga di atas adalah sebagai berikut:

https://d14fikpiqfsi71.cloudfront.net/media/W1siZiIsIjIwMTUvMDIvMTkvMTMvMzUvNDcvMzk5LzU0ZTVlNmIyMWI5ZDkwMTc2ZTAwMDExMi5wbmciXSxbInAiLCJ0aHVtYiIsIjYwMHhcdTAwM2UiLHt9XV0.png?sha=c9a3111499d86b7c

Adapun perbandingan trigonometri untuk sudut B pada segitiga di atas adalah sebagai berikut:

https://d14fikpiqfsi71.cloudfront.net/media/W1siZiIsIjIwMTUvMDIvMTkvMTMvMzcvMTEvNTY3LzU0ZTVlNzA3MWI5ZDkwMjE5MzAwMDA0ZS5wbmciXSxbInAiLCJ0aHVtYiIsIjYwMHhcdTAwM2UiLHt9XV0.png?sha=3f28532d01be419e

6.Diberikan segitiga siku-siku ABC, siku-siku di B. Jika panjang sisi AB = 3 satuan, BC = 4 satuan, tentukanlah sin A, cos C, dan tan A. ?
Penyelesaian :

*). Deskripsi gambarnya,

Untuk segitiga di bawah ini, dengan Teorema Phytagoras diperoleh panjang sisi AC = 5 satuan.

http://3.bp.blogspot.com/-8INyyvJoUhs/VjhnPYeVJ7I/AAAAAAAACPQ/8hY3oMJnBbQ/s1600/contoh_perbandingan_trigonometri_segitiga_siku-siku.PNG

*). Menentukan nilai perbandingan trigonometrinya
sin A=de/mi=BC/CA=4/5

cos A=sa/mi=AB/CA=3/5

tan A=de/sa=BC/AB=4/3

7.Dik segitiga siku siku ABC siku di b dgn ac=5,ab=3,bc=4 tentukan sin,cos,tan sudut ACB!

PENYELESAIAN.

SIN=3/5

COS=4/5

TAN=3/4

http://matematikastudycenter.com/images/trigonometri10sma-soal-2.png

8.Sebuah segitiga siku-siku.

Diketahui nilai dari sin β = ²/₃. Tentukan nilai dari :
a) cos β
b) tan β
Pembahasan

sin β = ²/₃ artinya perbandingan panjang sisi depan dengan sisi miringnya adalah 2 : 3

http://matematikastudycenter.com/images/trigonometri10sma-soal-2a.png

Gunakan phytagoras untuk menghitung panjang sisi yang ketiga (sisi samping):

Sehingga nilai cos β dan tan β berturut-turut adalah

http://matematikastudycenter.com/images/trigonometri10sma-soal-2c.png

http://matematikastudycenter.com/images/trigonometri10sma-soal-3.png

9.Seorang anak berdiri 20 meter dari sebuah menara seperti gambar berikut.

Perkirakan ketinggian menara dihitung dari titik A! Gunakan √2 = 1,4 dan √3 = 1,7 jika diperlukan.
Pembahasan
tan 60 ° adalah √3, asumsinya sudah dihafal. Sehingga dari pengertian tan sudut

http://matematikastudycenter.com/images/trigonometri10sma-soal-3a.png

Tinggi menara sekitar 34 meter.

10.Diberikan sebuah segitiga sama sisi ABC seperti gambar berikut. Panjang TC adalah 12cm.

   Tentukan panjang sisi segitiga tersebut!

      Pembahasan
     Δ ABC sama sisi, sehingga sudut A = sudut B = sudut C = 60° Jika diambil titik ATC menjadi segitiga, maka didapat gambar berikut.

Sinus 60° pada segitiga ATC adalah perbandingan sisi TC (sisi depan) dengan sisi AC (sisi miring) sehingga

http://matematikastudycenter.com/images/trigonometri10sma-soal-5c.png

http://matematikastudycenter.com/images/trigonometri10sma-soal-5a.png

http://matematikastudycenter.com/images/trigonometri10sma-soal-5b.png

#ATURAN SINUS

1.Perhatikan gambar segitiga dibawah ini:

Panjang sisi BC = ....
Pembahasan
Pada segitiga berlaku:

Sehingga pada soal ini berlaku:

a = 4 cm (√3 / √2) = 2√6 cm

2.Sebuah segitiga ABC memiliki panjang sisi c = 6 cm. Jika sudut A = 30 dan sudut C = 60 maka panjang sisi a = ...

Pembahasan
Pada soal tersebut berlaku persamaan:

a = 6 cm / √3 = 2√3 cm

3.Diketahui besar sudut A dan B segitiga ABC adalah 30 dan 60. Jika panjang sisi a = 4 cm maka panjang sisi c = ....

Pembahasan
Terlebih dahulu hitung sudut C
A + B + C = 180
30 + 60 + C = 180
C = 180 - 90 = 90
Menghitung sisi c:

c = 4 cm . 2/1 = 8 cm

4.Sebuah segitiga ABC memiliki panjang sisi a = 6 cm dan sisi b = 8 cm. Jika sudut A = 30 maka besar sudut C = ...
Pembahasan
Hitung terlebih dahulu sudut B:

Menghitung besar sudut segitiga dengan aturan sinus

sin B = 1/2 √3
B = 60 Menghitung sudut C
A + B + C = 180
C = 180 - B - A = 180 - 60 - 30 = 90

5.Deketahui segitiga ABC, dengan panjang AB = 20 cm, A = 60°, dan B =75°

Tentukan panjang AC (sin 75° = 0,97).

Penyelesaian:

Jika digambarkan segitiganya maka akan tampak seperti gambar di bawah ini.

Dengan menggunakan konsep jumlah sudut dalam segitiga maka kita akan dapat besarnya sudut di titik C yakni:

A + B + C = 180° 60° + 75° + C = 180° C = 180° - 135° C = 45°

Sehingga dengan menggunakan aturan sinus maka kita akan dapat mencari sisi-sisi pada segitiga tersebut yakni:

AB/sin C = AC/sin B AC = AB . sin B/sin C AC = 20 cm . sin 60°/sin 45°AC = 20 cm . (½√3)/(½√2) AC = 20 cm . √3/√2 AC = 10√6 cm AC = 24,5 cm

Jadi panjang AC adalah 24,5 cm.

6.Tentukan panjang BC pada segitiga berikut!

Pembahasan

AC = 12 cm ∠A = 60° ∠B = 45°

Panjang BC =....

Perhatikan gambar, pada segitiga berlaku aturan sinus sebagai berikut

sehingga :

7.Tentukan besar sudut C pada segitiga berikut!

Pembahasan

Data AC = 5/3 √6 cm BC = 5 cm

Dari data yang ada bisa ditentukan besar sudut B terlebih dahulu

Jumlah sudut segitiga adalah 180°sehingga besar sudut C adalah

∠C = 180 − (60 + 45) = 75°

8.Perhatikan gambar segitiga di bawah ini!

Tentukan perbandingan panjang sisi AB dan BC!

Pembahasan Pada segitiga berlaku:

Sehingga perbandingan AB : BC = √2 : √3

9.Segitiga PQR dengan sisi-sisinya adalah p, q dan r. Jika p = 16 cm, r = 8√2 cm dan ∠ R = 30° tentukan besar ∠ P !

Pembahasan

Segitiga PQR

Berlaku aturan sinus

Besar sudut P dengan demikian adalah 45°

10.Perhatikan gambar berikut!

Tentukan nilai kosinus sudut C!

Pembahasan

Dengan aturan sinus terlebih dahulu:

Untuk nilai kosinusnya gambar segitiga siku-siku bantu:

diperoleh nilai kosinusnya :

#TRIGONOMETRI SUDUT-SUDUT ISTIMEWA

1.Tentukan nilai dari Sin 30° + Cos 45° !

2.Tentukan nilai dari Sin 45° . Tan 60° + Cos 45° . Cot 60° !
Jawab :

3.Tentukanlah nilai dari $\sin 120^{\circ}+\cos 201^{\circ}+\cos 315^{\circ}$ !

Jawab:

$\sin 120^{\circ}$ berada pada kuadran 2, sehingga nilainya tetap positif dengan besar sama seperti $\sin 120^{\circ} = \sin (180-60)^{\circ} = \sin 60^{\circ} = \frac{1}{2} \sqrt{3}$

$\cos 120^{\circ}$ berada pada kuadran 3, sehingga nilainya negatif dengan besar sama seperti $\cos 120^{\circ} = \cos (180+30)^{\circ} = - \cos 30^{\circ} = - \frac{1}{2} \sqrt{3}$

$\cos 315^{\circ}$ berada pada kuadran 4, sehingga nilainya positif dengan besar sama seperti $\cos 315^{\circ} = \cos (360-45)^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{2} \sqrt{2}$

Jadi

4.Tentukan nilai dari Sin 30°- Cos 45° !

Jawab!

5.Gambar segi tiga

Carilah nilai perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku ACD pada sudut 30°, diatas.

sin 30° = AD/AC = x/2x = ½ cos 30° = CD/AC = x√3/2x = ½√3 tan 30° = AD/CD = x/x√3 = (1/3)√3

6.Sekarang kita cari nilai perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku ACD pada sudut 60°, dibawah.

sin 60° = CD/AC = x√3/2x = ½√3 cos 60° = AD/AC = x/2x = ½ tan 60° = CD/AD = √3x/x = √3

7.perhatikan gambar segitiga siku-siku di bawah ini.

Cara Mencari Nilai Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa

Perhatikan segitiga ABC di atas dengan siku-siku berada di titik A. Sudut A = 90°, sudut B = C = 45°. Jika panjang AB = AC = x maka dengan teorema pythagoras kita bisa cari panjang BC yakni:BC² = AB² + AC² BC² = x² + x² BC² = 2x² BC = x√2

Carilah perbandingan SIN pada sudut 45°, diatas.

sin 45° = AC/BC = x/x√2 = ½√2 cos 30° = AB/BC = x/x√2 = ½√2

8.perhatikan gambar segitiga siku-siku di bawah ini.

Perhatikan segitiga ABC di atas dengan siku-siku berada di titik A. Sudut A = 90°, sudut B = C = 45°. Jika panjang AB = AC = x maka dengan teorema pythagoras kita bisa cari panjang BC yakni: BC² = AB² + AC² BC² = x² + x²BC² = 2x²BC = x√2

Carilah perbandingan COS pada sudut 45°, diatas.

cos 30° = AB/BC = x/x√2 = ½√2

9.perhatikan gambar segitiga siku-siku di bawah ini.

Carilah perbandingan TAN pada sudut 45°, diatas.

tan 30° = AC/AB = x/x = 1

10. Tentukan nilai dari sin 30° + cos0° + tan45°

Penyelesaian

sin 30° + cos0° + tan45°=

#TRIGONOMETRI SUDUT BERELASI

1.Nyatakanlah perbandingan trigonometri berikut ini ke dalam perbandingan trigonometri sudut komplemennya!

a. sin 52^o
b. cos 16^o